Yoyoi Assalamu'alaykum warahmatullah wabarakatuh. Ada yang sudah tahu apa itu Magic Square ? Kalau sudah, bagus. Tapi kalau belum, sini dijelasin. Magis Square adalah kotak berukuran n kali n berisikan angka-angka dimana jumlah baris, kolom, dan diagonalnya adalah sama. Contoh, perhatikan kotak 3 kali 3 di bawah ini dan jumlahkan angka-angka pada masing-masing baris, kolom, dan diagonalnya !
Berapa jumlahnya ? Ya, 15. Bagaimana caranya ? Pola dan rumusnya ada, jadi tenang saja, akan dibahas satu per satu, secara lengkap, dan insyaa Allah mudah dimengerti. Siap ? Siap.
Sedikit disclaimer sebelum lanjut, pembahasan ini murni saya pelajari dari blog Everything About Math
Matematika memang selalu membuat saya takjub, mulai dari pola perkalian 9, piramida perkalian, perkalian simetris seperti di situs Muslimoderat, perkalian 37 dengan kelipatan 3, trik mengetahui suatu bilangan apakah habis dibagi bilangan lain, sampai dengan sejarah terciptanya komputer.
Saya sendiri bukan ahli matematika, tapi saya tertarik dengan angka dan pola. Itulah kenapa saya lebih suka memainkan game seperti Minesweeper, Shliterlink, atau Nonogram dibandingkan dengan game strategi seperti Catur, Shogi, atau Othelo, karena memang otak saya tak sanggup untuk itu.
Nah, kali ini ada hal yang menarik lagi tentang angka yang identik dengan matematika. Ya, Magic Square yang sudah saya perlihatkan keseruannya di atas. Ada banyak jenis Magic Square, tapi yang akan kita bahas kali ini adalah Magic Square yang diisi oleh angka-angka dari 1 sampai n kuadrat, dimana n adalah jumlah ordonya.
Magic Square jenis ini dibagi menjadi 3 kelompok berdasarkan jumlah ordonya, yaitu ordo ganjil, ordo genap, dan ordo kelipatan 4. Lah ? Apa bedanya ordo genap dengan ordo kelipatan 4 ? Sabar, mereka punya metode masing-masing. Ordo kelipatan 4 adalah ordo genap yang jika dibagi 2 hasilnya genap, sedangkan ordo genap adalah ordo genap yang jika dibagi 2 hasilnya ganjil atau n = 4m + 2 dimana n adalah ordo dan m adalah bilangan bulat positif. Jangan bingung dulu, itu hanya rumus sederhana.
Ada beberapa metode dalam menyusun atau menyelesaikan Magic Square, apa saja ? Simak penjelasannya di bawah ini.
Oooke, metode-metodenya sudah kita kupas tuntas, mudah-mudahan dapat dimengerti. Sebenarnya masih banyak metode-metode lainnya, jika berkesempatan akan saya bahas di lain waktu dan lain tulisan. Agar lebih lancar cobalah bereksperimen, praktikkan ke persegi yang lebih besar. Untuk pembuktian silakan gunakan tools seperti Ms. Excel atau Web App yang sudah saya buat di sini. Silakan bertanya jika tidak mengerti.
Nah, kali ini ada hal yang menarik lagi tentang angka yang identik dengan matematika. Ya, Magic Square yang sudah saya perlihatkan keseruannya di atas. Ada banyak jenis Magic Square, tapi yang akan kita bahas kali ini adalah Magic Square yang diisi oleh angka-angka dari 1 sampai n kuadrat, dimana n adalah jumlah ordonya.
Magic Square jenis ini dibagi menjadi 3 kelompok berdasarkan jumlah ordonya, yaitu ordo ganjil, ordo genap, dan ordo kelipatan 4. Lah ? Apa bedanya ordo genap dengan ordo kelipatan 4 ? Sabar, mereka punya metode masing-masing. Ordo kelipatan 4 adalah ordo genap yang jika dibagi 2 hasilnya genap, sedangkan ordo genap adalah ordo genap yang jika dibagi 2 hasilnya ganjil atau n = 4m + 2 dimana n adalah ordo dan m adalah bilangan bulat positif. Jangan bingung dulu, itu hanya rumus sederhana.
Untuk lebih mudah nantinya kita sepakat untuk menyebutnya ordo ganjil, ordo genap, dan ordo kelipatan 4.
Ada beberapa metode dalam menyusun atau menyelesaikan Magic Square, apa saja ? Simak penjelasannya di bawah ini.
- Metode Siamese
Metode ini bisa digunakan untuk persegi berordo ganjil, seperti 3x3, 5x5, 7x7, dan seterusnya. Metode ini adalah metode paling sering dimainkan dan paling sering diperlihatkan, karena memang yang sering dicontohkan ataupun dijadikan riddle seru-seruan biasanya adalah persegi 3x3. Lalu, bagaimana cara menerapkannya ? Yok kita coba.
Perhatikan gambar di atas ! Kita akan praktekkan metode ini dengan membuat Magic Square 5x5 sesuai ilustrasi di atas, langkahnya adalah sebagai berikut :
- Tulis angka 1 di bagian tengah persegi paling pinggir, bebas, mau di bawah, atas, kiri, maupun kanan (pokoknya pinggir-tengah).
- Tentukan arah diagonal anda akan menulis angka selanjutnya secara berurutan
Ketentuan :
Arahnya harus ke luar persegi
Jika angka 1 nya di atas, arahkan ke atas (barat laut atau timur laut)
Jika di kanan, arahkan ke kanan (timur laut atau tenggara)
Jika di kiri, arahkan ke kiri (barat laut atau barat daya)
Jika di bawah, arahkan ke bawah (barat daya atau tenggara)Pastikan anda telah meletakkan angka 1 nya di pinggir dan tengah persegi, dan anda telah memilih arah diagonalnya, karena arah diagonal tidak boleh berubah di tengah proses - Inisiasi selesai, kita masuk ke bagian utamanya, logika dari metode ini. Tulis angka selanjutnya secara berurutan hingga mencapai angka n x n (n = ordo) dengan arah diagonal ke luar persegi. Kita asumsikan angka 1 nya berada di paling atas, dan kita bergerak ke arah timur laut (kanan-atas).
- Jika sudah berada di kotak paling pinggir persegi, arahkan angka selanjutnya ke kotak paling pinggir sebaliknya. Contoh, jika berada di kotak paling kanan, maka yang diisi selanjutnya adalah kotak paling kiri dengan tetap mempertahankan arah diagonal.
- Jika kotak selanjutnya sudah terisi angka maka pindah ke kotak yang berada di bawah kotak sekarang.
Untuk inisiasi (langkah 1 dan 2), angka 1 bisa diletakkan di mana saja, dan arah diagonalnya bisa kemana saja, yang penting arahnya tetap. Tapi dengan risiko jumlah diagonalnya tidak akan sama.
- Pyramid Method
Metode ini juga digunakan untuk Magic Square dengan ordo ganjil. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :- Buat persegi n x n, dalam kasus ini 5 x 5
- Perluas persegi tersebut dengan menambahkan (n - 2) kolom di kiri dan kanan persegi, dan (n - 2) baris di atas dan bawah persegi hingga n - 2 = 1, nantinya persegi tersebut akan menjadi belah ketupat. Dalam contoh ini berarti menambahkan 3 kolom di kiri dan kanan, 3 baris di atas dan bawah, kemudian 1 kolom lagi di kiri dan kanan, dan 1 baris lagi di atas dan bawah.
- Tulis angka 1 sampai (n x n) secara diagonal dengan syarat arah diagonal harus sama, dimulai dari salah satu kotak yang berada di sudut belah ketupat. Dalam contoh ini tuliskan 1 sampai 25.
- Jika sudah, pindahkan angka-angka yang berada di kotak-kotak tambahan ke bagian kosong di sisi seberang persegi. Perhatikan ilustrasi di bawah ini !
- Metode Lozenge
Metode ini digunakan untuk menyusun Magic Square berordo kelipatan 4, seperti 4 x 4, 8 x 8, 12 x 12, dan seterusnya. Caranya sederhana, kita akan contohkan pada persegi 12 x 12 agar lebih mudah memahami penentuan polanya, karena persegi 12 tak terlalu sedikit dan tidak kebanyakan. Simak penjabarannya di bawah ini !
- Tulis angka 1 sampai n x n (pada contoh ini 1 sampai 144) dari kiri ke kanan secara berurutan.
- Buat pola refleksi. Nah, pada tahap ini ada dua pola refleksi yang dapat saya simpulkan setelah bereksperimen, karena di sumber yang saya baca dijelaskan bahwa agak sulit untuk menentukan pola refleksinya. Kedua pola ini bisa dipakai di semua Magic Square kelipatan 4, jadi sudah tidak sulit lagi untuk menentukan pola mana yang harus digunakan. Langkah awal untuk kedua pola ini sama, yaitu dengan membagi persegi menjadi 4 bagian seperti gambar di bawah ini.
- Kita mainkan salah satu bagian, misalnya A. Tandai kotak yang menjadi titik temu antara keempat bagian, pada bagian A yaitu kotak kanan-bawah dengan nomor 66. Untuk pola pertama kita namakan Pola 1 1, yaitu satu kotak dikosongkan dan satu kotak ditandai, dan pola kedua kita namakan Pola 2 2, dua kotak dikosongkan dan dua kotak ditandai.
- Gunakan pola 1 1 atau pola 2 2 untuk menandai kotak-kotak lain di sisi kotak yang menjadi titik temu. Hasilnya akan menjadi seperti gambar di bawah ini.
Warna merah adalah kotak yang ditandai
- Refleksikan pola tersebut ke 3 bagian lainnya. Ingat ! Refleksikan, bukan di-copy.
- Swipe atau tukar angka-angka pada kotak yang telah ditandai secara diagonal bersilangan antar bagian. Swipe angka-angka di bagian A dengan bagian D, sedangkan B dengan C. Perhatikan ilulstrasi di bawah ini !
Penjelasan gambar di atas : Swipe angka-angka dengan warna yang sama dengan angka-angka pada bagian refleksi diagonalnya. Ingat, swipe angka-angkanya secara diagonal bersilangan ! Contoh pada pola 1 1 : 66 dengan 79, 4 dengan 140, 62 dengan 83. Paham ?
Hasilnya menjadi seperti gambar di bawah ini
Coba jumlahkan baris, kolom, dan diagonalnya, hasilnya akan sama, yaitu 870. Bagaimana ? Sampai di sini mengerti ? Saya harap sudah. Masih ada dua metode lagi yang harus kita bahas. Untuk metode Lozenge ini, saya menjelaskannya seperti itu agar paham setiap langkah-langkah kecilnya, untuk itu silakan bereksperimen dan nantinya kita bisa mempersingkat langkahnya. - Tulis angka 1 sampai n x n (pada contoh ini 1 sampai 144) dari kiri ke kanan secara berurutan.
- Metode Conway LUX
Metode ini digunakan untuk membuat Magic Square dengan ketentuan n = 4m + 2 atau Magic Square ordo genap, seperti 6 x 6, 10 x 10, 14 x 14, dan seterusnya. Kenapa dinamakan Conway LUX ? Nah, nantinya persegi akan dipecah menjadi kotak 2 x 2, artinya ada 4 kotak di setiap pecahan. Jawaban dari pertanyaan di atas ada pada penulisan urutan angka pada masing-masing yang kotak membentuk huruf L, U, dan X. Perhatikan ilustrasi di bawah ini !
Kita akan contohkan pada Magic Square 6 x 6. Adapun langkah-langkanya adalah sebagai berikut :
- Bagi Magic Squarenya menjadi sekumpulan kotak 2 x 2 atau persegi (n/2) x (n/2).
Supaya tidak salah pengertian, kita sebut Magic Square n x n sebagai persegi besar, dan magic Square n/2 x n/2 sebagai persegi kecil
- Tentukan urutan penulisan angka-angkanya pada persegi kecil berdasarkan konsep LUX di atas. Ketentuannya adalah sebagai berikut :
n = 4m + 2
Jadi m = (n - 2) / 4
m = (6 - 2) / 4 = 1- (m + 1) baris pertama adalah L.
- 1 baris berikutnya adalah U.
- (m - 1) baris terakhir atau sisanya adalah X .
- Ganti U yang di tengah dengan kotak 2 x 2 di atasnya.
- Tulis angka 1 sampai n x n secara berurutan di persegi besar menggunakan aturan LUX dengan menerapkan aturan Metode Siamese pada persegi kecil.
- Bagi Magic Squarenya menjadi sekumpulan kotak 2 x 2 atau persegi (n/2) x (n/2).
- Metode Strachey
Nah, metode terakhir. Metode ini juga digunakan untuk Magic Square ordo kelipatan 4 dan kita juga masih akan menggunakan rumus n = 4m + 2. Bagaimana caranya ? Ikuti langkah-langkahnya di bawah ini :- Buat dulu Magic Squarenya, kita akan contohkan pada Magic Square 10 x 10.
- Bagi Magic Squarenya menjadi 4 bagian sama rata. Pembagiannya yaitu A, C di kiri A, B di bawah C, dan D dibawah A di kiri B. Pada contoh persegi 10 x 10 akan menjadi persegi 5 x 5 untuk setiap bagiannya. Jelas ? Kalau belum, perhatikan gambar di bawah.
- Tulis 1 sampai n x n berurutan menggunakan Metode Siamese masing-masing bagian dari A, B, C, hingga D yang juga secara berurutan. Untuk contoh persegi 10 x 10 berarti 1 sampai 100
- Nah, saatnya menggunakan rumus. Swap m kolom pertama dari kiri A dengan m kolom pertama dari kiri D. Kemudian Swap m-1 kolom pertama dari kanan C dengan m-1 kolom pertama dari kanan B.
n = 4m + 2
Maka m = (n - 2) / 4 => m = (10 - 2) / 4
jadi, m = 2
Ingat ! Swap-nya sejajar, bukan diagonal bersilangan seperti di metode Lozenge sebelumnya. Hasilnya adalah :
- Swap kotak tengah paling kiri A dengan kotak tengah paling kiri D, dan swap kotak tengah-tengah A dengan kotak tengah-tengah D
Setelah di-swap hasilnya akan menjadi seperti di bawah ini :Lebih jelasnya hasilnya akan seperti di bawah ini :
Rumus untuk menentukan hasil dari Magic Square ordo genap, baik menggunakan Metode Strachey maupun Conway LUX adalah n^3 : 2 + n : 2 dimana n adalah ordo.
Bagaimana ? Mengerti ? Mudah-mudahan sudah. Untuk memperlancar, silakan praktikkan ke persegi yang lebih besar. Sampai di sini kita baru membahas 2 metode untuk persegi berordo ganjil. Silakan lanjutkan membaca untuk tahu lebih banyak.
Tak perlu Excel atau kalkulator untuk mengetahui jumlah masing-masing baris, kolom, dan diagonal. Untuk Magic Square ordo ganjil, gunakan rumus (n * n + 1) / 2 * n. Untuk pembuktian kita tetap butuh Excel atau tools serupa. n = ordo
Gunakan rumus ((n * n / 2) + (n * n / 2 + 1)) * (n / 2) jika hanya ingin tahu hasil penjumlahannya. n = ordo
Jika dijumlahkan hasilnya adalah 111. Cobalah bereksperimen sendiri.
Oooke, metode-metodenya sudah kita kupas tuntas, mudah-mudahan dapat dimengerti. Sebenarnya masih banyak metode-metode lainnya, jika berkesempatan akan saya bahas di lain waktu dan lain tulisan. Agar lebih lancar cobalah bereksperimen, praktikkan ke persegi yang lebih besar. Untuk pembuktian silakan gunakan tools seperti Ms. Excel atau Web App yang sudah saya buat di sini. Silakan bertanya jika tidak mengerti.
Terima kasih telah berbagi informasi, jangan lupa kunjungi website Universitas Islam Negeri Walisongo walisongo.ac.id
ReplyDeletePost a Comment