PENJUMLAHAN BERURUT - REVERSE (1/2)

Assalamu'alaykum warahmatullahi wabarakatuh.
Kita semua tentunya sudah tahu dengan penjumlahan berurut dong, ada laaah nemu di soal UN, Olimpiade, atau soal ujian masuk PTN/PTS. Lupa ? Atau nggak tau mana yang disebut penjumlahan berurutan ? Saya kasih contoh, misal : menjumlahkan angka 1 sampai 10, atau 5 sampai 10. Sudah ingat ?  Iya, menghitung jumlah/total angka dari m sampai n, di mana m dan n adalah bilangan asli.

Sampai sini paham ? Sekarang kita merujuk ke judul. Saya menambahkan kata reverse di sana, artinya apa ? Kita tidak akan menjumlahkan, tapi dibalik, kita akan mencari angka-angka berurutan  yang menjadi penyusun angka tertentu. Berbeda dengan penjumlahan berurutan yang biasanya diketahui adalah angka-angka berurutannya dan diminta mencari jumlahnya, sedangkan jika di-reverse, yang diketahui adalah jumlahnya dan diminta mencari angka-angka berurutan yang menjadi penyusunnya.

Biar lebih mantap dan lengkap, saya akan bahas dulu penjumlahan berurutan yang biasa, belum kita reverse. Sebagai pengantar, metode-metode yang saya temukan sebenarnya tidak saya dapatkan di bangku sekolah, atau mungkin saya yang tidak menyimak ketika di kelas waktu sekolah maupun bimbel. Saya memikirkannya ketika ujian berlangsung, saya lupa ujian apa, tapi satu-satunya clue yang saya ingat yaitu saat itu adalah ujian uji coba. Nah, sekarang kita bahas penyelesaiannya.

Pertama-tama yang harus diketahui adalah angka awal dan angka akhir, kita sebut saja m untuk angka awal dan n untuk angka akhir.

Ingat ! ini hanya berlaku hanya jika diminta mencari jumlah deret yang sudah diketahui

Sebelum lanjut, coba perhatikan lagi gambar di atas, dapat polanya ? Iya, jika kita menjadikan angka di tengah deret sebagai patokan/titik tumpu, angka-angka yang posisinya saling berlawanan memiliki jumlah yang sama. 9 + 3 = 8 + 4 = 7 +5. Atau di deret yang di bawah, 8 + 3 = 7 + 4 = 5 + 6.
Nah, rumus yang saya temukan setelah memakan waktu sekitar 5-10 menit berpikir ketika ujian yaitu hasil = (n - m + 1) * (m + n) / 2. Biar lebih gampang, maksudnya yaitu angka akhir dikurang angka awal ditambah 1, lalu angka awal dan angka akhir ditambahkan, kedua hasil tersebut dikalikan kemudian dibagi 2, jangan diambil pusing, rumus itu hanya agar terkesan lebih matematis. Perhatikan ilustrasi berikut.

Silakan praktikkan pada deret berapapun, 5 angka, 10 angka, deret ganjil atau genap, dimulai dari angka ganjil atau genap, cara itu bisa untuk semua kondisi.

Darimana asal rumus tersebut ? Coba perhatikan gambar di atas ! Sederhana, untuk deret ganjil kita sebenarnya mengalikan angka di tengah deret dengan banyaknya angka dalam deret, sedangkan untuk deret genap kita mengalikan jumlah dua angka di tengah deret dengan setengah dari banyak angka dalam deret. Namun untuk mencari berapa jumlah deretnya, apakah itu deret ganjil atau genap, berapa nilai tengahnya, kita kan tidak tahu. Kalau dari contoh pada gambar di atas memang bisa dihitung hanya dengan melihat, tapi bagaimana jika deretnya banyak ? Maka dari itu dibutuhkan rumus matematisnya.

Pertama, kita tentukan banyaknya angka dalam deret. Caranya cukup kurangkan angka terakhir dengan angka pertama, lalu ditambah 1, deretnya ganjil atau genap bergantung pada hasil perhitungan tersebut, karena jika banyak angkanya ganjil,berarti itu deret ganjil, bukan ? Begitupun sebaliknya.

Kenapa mesti ditambah 1 ? Darimana 1 itu berasal ? Gini deh, kita ilustrasikan biar lebih gampang. Dari angka 1 sampai 5 itu berapa angka ? 5 kan ? Nah, kalau 5 sebagai angka akhir dikurangkan dengan 1 sebagai angka awal, hasilnya adalah 4 bukan ? Makanya harus ditambah 1. Coba tes deret ke lain, sama kok. Tapi kalau ditanya dari mana 1 itu berasal, sebenarnya ia adalah beda antar bilangan, jarak masing-masing angka dalam deret. 1 ke 2 berjarak 1 angka, 2 ke 3 berjarak 1 angka, begitu seterusnya, jadi rumus sebenarnya adalah jumlah deret = n - m + b. Tapi tunggu, tadi saya bilang 1 itu jarak masing-masing angka kan ? Lalu bagaimana jika bedanya bukan 1 ? Gampang, silakan lihat rumusnya pada gambar di bawah ini

Sudah mengerti sampai di sini ? Jadi kenapa sebelumnya kita hanya memakai rumus n - m + 1 ? Karena bedanya 1, apapun dibagi 1 hasilnya adalah apapun itu sendiri.

Kedua, bagaimana menentukan satu angka di tengah deret ganjil dan dua angka di tengah deret genap ? Tenang, jangan buru-buru. Pertama, kita jumlahkan dulu angka awal dan angka akhir, saya sebut ini nilai tengah karena hasil dari penjumlahan angka di awal dan di akhir deret. Kita sepakati dulu, samakan pemahaman. Nilai tengah adalah angka akhir ditambah angka awal (n + m). Sedangkan angka tengah adalah angka di tengah deret yang mana untuk deret ganjil angka tengahnya hanya 1 angka dan untuk deret genap angka tengahnya ada dua angka. Untuk menentukan angka tengah, deret ganjil dan genap memiliki cara yang berbeda.

Untuk deret ganjil, bagi nilai tengah dengan 2. Lalu untuk deret genap, nilai tengahnya pasti ganjil. Nah, angka di tengah pertama adalah nilai tengah tadi dikurang beda kemudian dibagi 2, dan angka kedua adalah nilai tengah ditambah beda kemudian dibagi 2. Coba cermati gambar di bawah ini.

Dua angka di tengah deret genap sebenarnya tidak akan dioperasikan, jadi tidak perlu repot-repot mencarinya, kita hanya butuh nilai tengahnya karena dua angka tersebut jika dijumlahkan hasilnya adalah nilai tengah

Kita sudah di tahap akhir, seperti yang saya katakan di awal tadi, untuk deret ganjil kita sebenarnya mengalikan angka di tengah deret dengan banyaknya angka dalam deret, sedangkan untuk deret genap kita mengalikan jumlah dua angka di tengah deret dengan setengah dari banyak angka dalam deret. Kita coba masukkan ke rumus.

---

Nnah, sekarang saatnya hidangan utama, kita akan ulas penjumlahan berurut versi reverse-nya. Versi ini memang belum pernah saya temui di soal manapun. Versi ini cuma hasil iseng-iseng saya memutar otak biar panas. Kasusnya sederhana, misal ada angka 35, nah silakan cari angka-angka yang berurutan yang jika dijumlahkan menghasilkan 35. Paham ? Karena postingan ini sudah kepanjangan, sebaiknya saya bahas di bagian keduanya. Selamat membaca dan semoga paham.