Assalamu'alaikum warahmatullahi wabarakatuh
Kita lanjutkan ke bagian kedua dari pembahasan kita tentang penjumlahan berurut. Bagian ini adalah bahasan utamanya. Saya beri sedikit gambaran. Coba cari angka-angka berurutan yang jika dijumlahkan hasilnya adalah 45 ! Mengerti pertanyaannya ? ? Itulah reverse dari penjumlahan berurut.
Kita kaji lagi ke pembahasan sebelumnya. Untuk menjumlahkan angka-angka yang berurutan dengan beda tertentu, kita sebenarnya mengalikan dua angka, yaitu angka tengah dan banyaknya angka dalam deret. Artinya apa ? Kita harus mencari faktor pembagi dari bilangan yang diminta. Misalkan 45, faktor pembaginya adalah 3 x 15 dan 5 x 9. Nah, sekarang siapa yang menjadi banyaknya angka dalam deret dan siapa yang menjadi nilai/angka tengahnya ? Jawabannya bisa siapa saja, kedua faktor pembaginya bisa menjadi nilai/angka tengah maupun banyaknya angka dalam deret.
Pahami langkahnya satu persatu.
Kita contohkan ke bilangan di atas, yaitu 45 dengan faktor pembagi 3 x 15 dan 5 x 9. Kita akan ambil 5 x 9. Karena kedua faktor sama-sama bernilai ganjil, maka kita hanya perlu menjadikan salah satu faktor sebagai angka tengah dan faktor lainnya sebagai banyak angka dalam deret, dan otomatis deretnya adalah deret ganjil. Kita pakai 5 sebagai angka tengah.
Nah, sebenarnya hasilnya sudah ditemukan. Dengan 5 sebagai angka tengah dan banyak angka berjumlah 9, artinya kita perlu menambahkan 8 angka lagi karena 5 sudah terhitung 1 angka. Karena 5 adalah angka tengah berarti posisinya di tengah deret dong, artinya 8 angka yang akan kita tambahkan nanti tidak merubah posisi angka 5 sebagai angka tengah, berarti kita perlu menambahkan 4 angka sebelum dan sesudah angka 5. Berarti jawabannya adalah 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Coba hitung apakah benar totalnya 45 ? Pasti. Untuk mengujinya kembali, silakan cobakan rumus yang telah dibahas di bagian pertama. (9 + 1) * (9 - 1 + 1) / 2 * 1 = 45. Hasilnya tepat.
Karena tadi saya mengatakan kedua faktor bisa menjadi nilai/angka tengah maupun banyak angka, sekarang coba kita balik. Kita akan jadikan 9 sebagai angka tengah. Kenapa ? Kita ulang lagi logikanya. 9 sebagai angka tengah dan banyak angka berjumlah 5, artinya kita perlu menambahkan 4 angka lagi karena 9 sudah terhitung 1 angka. Karena 9 adalah angka tengah berarti posisinya di tengah deret dong, artinya 4 angka yang akan kita tambahkan nanti tidak merubah posisi angka 9 sebagai angka tengah, berarti kita perlu menambahkan 2 angka sebelum dan sesudah angka 9. Berarti jawabannya adalah 7 8 9 10 11. Coba dijumlahkan dan uji rumus di bagian sebelumnya.Metode ini bisa digunakan jika kedua faktor pembaginya bernilai ganjil
Nah, sebenarnya hasilnya sudah ditemukan. Dengan 5 sebagai angka tengah dan banyak angka berjumlah 9, artinya kita perlu menambahkan 8 angka lagi karena 5 sudah terhitung 1 angka. Karena 5 adalah angka tengah berarti posisinya di tengah deret dong, artinya 8 angka yang akan kita tambahkan nanti tidak merubah posisi angka 5 sebagai angka tengah, berarti kita perlu menambahkan 4 angka sebelum dan sesudah angka 5. Berarti jawabannya adalah 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Coba hitung apakah benar totalnya 45 ? Pasti. Untuk mengujinya kembali, silakan cobakan rumus yang telah dibahas di bagian pertama. (9 + 1) * (9 - 1 + 1) / 2 * 1 = 45. Hasilnya tepat.
Karena tadi saya mengatakan kedua faktor bisa menjadi nilai/angka tengah maupun banyak angka, sekarang coba kita balik. Kita akan jadikan 9 sebagai angka tengah. Kenapa ? Kita ulang lagi logikanya. 9 sebagai angka tengah dan banyak angka berjumlah 5, artinya kita perlu menambahkan 4 angka lagi karena 9 sudah terhitung 1 angka. Karena 9 adalah angka tengah berarti posisinya di tengah deret dong, artinya 4 angka yang akan kita tambahkan nanti tidak merubah posisi angka 9 sebagai angka tengah, berarti kita perlu menambahkan 2 angka sebelum dan sesudah angka 9. Berarti jawabannya adalah 7 8 9 10 11. Coba dijumlahkan dan uji rumus di bagian sebelumnya.
Perhatikan ilustrasi berikut agar lebih paham.
Saya ingatkan lagi, jangan pusing kalau lihat rumus. Itu hanya mematematiskan penjelasan saya di atas
Sepertinya belum cukup kalau hanya satu contoh. Kita praktikkan lagi metode faktor ganjil-ganjil ke angka 45, lagi, tapi dengan faktor pembagi 3 x 15. Berikut ilustrasinya.
Kita jabarkan gambar di atas, kita menggunakan metode faktor ganjil-ganjil, setidaknya saya menyebutnya begitu. Karena kedua faktor sama-sama ganjil, satu angka kita jadikan angka tengah, dalam kasus ini kita pilih 3, kemudian 15 sebagai banyak angka dalam deret. Kita ulang logikanya lagi biar makin lancar. Karena banyak angka dalam deret adalah 15, dan 3 sebagai nilai tengah, artinya 3 sudah menjadi bagian dari 15 angka tersebut, sisa 14 angka lagi. Artinya apa, kita cukup menambahkan 7 angka sebelum 3 dan 7 angka lagi sesudah 3. Paham ? Karena bedanya 1, maka penambahan angkanya cuma berjarak 1 angka masing-masingnya.
Lalu bagaimana dengan angka negatifnya ? Sebenarnya tidak ada masalah dengan adanya angka bernilai negatif. Toh fungsinya untuk menghapus angka positif sebanyak angka negatif yang ada agar deretnya lebih sederhana.
Kenapa bisa sampai ada angka negatif ? Karena selisih kedua faktor ganjil tersebut (15 - 3) lebih besar atau sama dengan faktor yang nilainya lebih kecil (12 ≥ 3), Kita serhanakan ke rumus menjadi a - c ≥ c. Karena itu ada cari lain kalau tidak nyaman dengan adanya angka negatif, hasilnya sama kok. Ubah faktor yang lebih besar (a) menjadi dua angka (i dan j) yang nantinya akan menjadi angka di tengah deret. Untuk mendapatkan i kurangi a dengan beda (a-b) yang dalam kasus ini bernilai 1 kemudian dibagi 2, i = (a - b)/2. Sedangkan untuk mendapatkan j tambahkan a dengan beda (a+b) kemudian dibagi 2, j = (a + b)/2. Sekarang olah faktor yang lebih kecil. Tambahkan c - 1 angka sebelum i dan c - 1 angka sesudah j.
Dua contoh sepertinya masih belum cukup. Kita ambil kasus angka 10 dengan faktor 2 dikali 5. Kali ini faktor pembaginya genap-ganjil. Kasus dengan faktor pembagi ganjil-genap bisa diselesaikan dengan metode pada kasus angka 45 dengan faktor pembagi 3 x 15. Kita sebut ini metode faktor ganjil-genap. Untuk lebih jelasnya silakan perhatikan ilustrasi di bawah ini.
Sudah mengerti ? Silakan lakukan uji coba, eksperimen, biar lebih paham. Silakan tes dengan beda selain 1.
Wassalam
Kita jabarkan gambar di atas, kita menggunakan metode faktor ganjil-ganjil, setidaknya saya menyebutnya begitu. Karena kedua faktor sama-sama ganjil, satu angka kita jadikan angka tengah, dalam kasus ini kita pilih 3, kemudian 15 sebagai banyak angka dalam deret. Kita ulang logikanya lagi biar makin lancar. Karena banyak angka dalam deret adalah 15, dan 3 sebagai nilai tengah, artinya 3 sudah menjadi bagian dari 15 angka tersebut, sisa 14 angka lagi. Artinya apa, kita cukup menambahkan 7 angka sebelum 3 dan 7 angka lagi sesudah 3. Paham ? Karena bedanya 1, maka penambahan angkanya cuma berjarak 1 angka masing-masingnya.
Lalu bagaimana dengan angka negatifnya ? Sebenarnya tidak ada masalah dengan adanya angka bernilai negatif. Toh fungsinya untuk menghapus angka positif sebanyak angka negatif yang ada agar deretnya lebih sederhana.
Kenapa bisa sampai ada angka negatif ? Karena selisih kedua faktor ganjil tersebut (15 - 3) lebih besar atau sama dengan faktor yang nilainya lebih kecil (12 ≥ 3), Kita serhanakan ke rumus menjadi a - c ≥ c. Karena itu ada cari lain kalau tidak nyaman dengan adanya angka negatif, hasilnya sama kok. Ubah faktor yang lebih besar (a) menjadi dua angka (i dan j) yang nantinya akan menjadi angka di tengah deret. Untuk mendapatkan i kurangi a dengan beda (a-b) yang dalam kasus ini bernilai 1 kemudian dibagi 2, i = (a - b)/2. Sedangkan untuk mendapatkan j tambahkan a dengan beda (a+b) kemudian dibagi 2, j = (a + b)/2. Sekarang olah faktor yang lebih kecil. Tambahkan c - 1 angka sebelum i dan c - 1 angka sesudah j.
Dua contoh sepertinya masih belum cukup. Kita ambil kasus angka 10 dengan faktor 2 dikali 5. Kali ini faktor pembaginya genap-ganjil. Kasus dengan faktor pembagi ganjil-genap bisa diselesaikan dengan metode pada kasus angka 45 dengan faktor pembagi 3 x 15. Kita sebut ini metode faktor ganjil-genap. Untuk lebih jelasnya silakan perhatikan ilustrasi di bawah ini.
Sudah mengerti ? Silakan lakukan uji coba, eksperimen, biar lebih paham. Silakan tes dengan beda selain 1.
Wassalam
Post a Comment